在數學方麵，劉徽完成《九章算術注》，是中國數學史上寶貴的文獻，即在世界數學史上也有一定的地位，主要貢獻如下：
極限觀念與割圓術。
關於體積計算的劉徽定理。
創立十進小數記法。
改進了線性方程組的解法《九章算術》中有一章專講線性方程組問題。
總結和發展了重差術我國古代，將用“表”（標杆）或“矩”（刻劃以留標記）進行兩次測望的測量方法稱做“重差術”。
東亞
景初二年（238年），倭國中邪馬台國的卑彌呼女王派遣難升米和都市牛利兩個使者[62]，來到朝鮮半島上的帶方郡，向太守劉夏提出，希望能去魏都洛陽朝見魏國皇帝，進獻貢品。劉夏答應了他們的請求，並親自帶領使者來到了國都洛陽。這兩位使者向魏明帝獻上了四個男奴隸，六個女奴隸以及二匹二丈的布。
遠涉重洋來朝貢，讓魏明帝非常高興，於是下詔封卑彌呼女王為“親魏倭王”，賜以金印紫綬，同時封正使難升米為“率善中郎將”，副使都市牛利為“率善校尉”，並賜以銀印。作為對卑彌呼貢品的答禮，魏明帝賜給絳地交龍錦五匹、蒨絳五十匹，紺青五十匹，又單賜卑彌呼紺地句文錦三匹、細班華罽五張、白絹五十匹、金八兩、五尺刀二口、銅鏡百枚，珍珠、鉛丹各五十斤。
歐洲
曹魏和羅馬帝國也有陸路交往，增辟了與羅馬交往的新北道，由玉門關轉向西北，通過橫坑（今庫魯克山），經五船以東轉西進入車師前部（哈拉和卓）。此外，據《魏略》記載，大秦（當時稱羅馬帝國為大秦）的郵驛製度與中國極為相似：“旌旗黎鼓，白蓋小車，郵驛亭置如中國……人民相屬，十裡一亭，三十裡一置”。可以推測，那時曹魏和羅馬帝國也定有郵驛往來。
九品中正製，又稱九品官人法，是魏晉南北朝時期重要的選官製度，是曹丕采納尚書令陳群的意見，後來各參與方基本遵從這種不成文規定。曹丕於黃初元年（220年）命陳群製定的具有法律意義的製度。此製至西晉漸趨完備，南北朝時又有所變化。從曹魏始至隋唐科舉的確立，這期間約存在了四百年之久。[1][2][3]
九品中正製上承兩漢察舉製，下啟隋唐之科舉，在中國古代政治製度史上占有十分重要的地位，乃中國封建社會三大選官製度之一，實際是兩漢察舉製度的一種延續和發展，或者說是察舉製的另一種表現形式。[2][2]
九品中正製大體是指由各州郡分彆推選大中正一人，所推舉大中正必為在中央任職官員且德名俱高者。大中正再產生小中正。中正就是品評人才的官職名稱。大、小中正產生後，由中央分發一種人才調查表，在該表中將人才分為九等，上上、上中、上下、中上、中中、中下、下上、下中、下下。此表由各地大小中正以自己所知將各地知名人士無論是否出仕皆登記其上，表內詳記年藉各項，分彆品第，並加評語。小中正襄助大中正審核後將表呈交吏部，吏部依此進行官吏的升遷與罷黜。此項製度使得當時的官吏選拔有了一客觀標準，此標準其實依然是采取地方群眾輿論和公共意見，保留了漢代鄉舉裡選的遺意。九品中正製的實行一方麵解決了選拔官吏無標準的問題，使當時一時間吏治澄清。另一方麵緩解了中央政府與世家大族的緊張關係，促成魏晉實現全國的統一打下了堅實的基礎。
兩漢時期的察舉製，到了東漢末年，已為門閥士族所操縱和利用，他們左右了當時的鄉閭輿論，使察舉滋生了種種腐敗的現象，與要求參與政治的中小地主及其知識分子產生了尖銳的矛盾，在如何選官的問題上鬥爭激烈。曹操死後，曹丕在采納陳群的創議後，於是九品中正製成了魏晉南北朝時期主要的選官製度。但當時察舉尚未完全廢除。九品中正製就是在這種背景形勢下產生的。
曹操（155年[1]－220年3月15日[2]），字孟德，一名吉利，小字阿瞞[73]，一說本姓夏侯，[141]沛國譙縣（今安徽省亳州市）人。[3]中國古代傑出的政治家、軍事家、文學家、書法家，[261]中國東漢末年的權臣，亦是曹魏政權的奠基者。太尉曹嵩之子。[3
曹操少年間任俠放蕩，到二十歲時舉孝廉為郎，授洛陽北部尉。後任騎都尉，參與鎮壓黃巾軍，調濟南相。董卓擅政時，散儘家財，起兵討董卓。初平三年（192年），據兗州，分化誘降黃巾軍三十餘萬，選取其中精銳組建青州軍。建安元年（196年），迎漢獻帝至許縣，從此用獻帝名義發號施令，總攬朝政。在此前後相繼擊敗袁術、陶謙、呂布等勢力。建安五年（200年），在官渡之戰中大敗割據河北的袁紹，隨後削平袁尚、袁譚，北擊烏桓，統一北方。建安十三年（208年）進位丞相。同年率軍南征，收服荊州，但在赤壁之戰中敗於孫劉聯軍。建安二十年（215年），取漢中，次年（216年）自魏公進爵魏王。建安二十五年（220年），曹操病死於洛陽，享年六十六歲。[139]曹魏建立後，被追尊為太祖，諡號武皇帝，[112]葬於高陵。
曹操用人唯才，抑製豪強，加強集權；在北方屯田，興修水利。他的諸種舉措使統治地區的社會經濟得到一定的恢複和發展。對於曹操的功業及其為人，後世評論之多，分歧之大，可謂世所罕見。[262]此外，他知兵法，工書法，擅詩歌。其詩多抒發政治抱負，反映漢末人民的苦難生活，氣魄雄偉，慷慨悲涼，開建安文學之風。著有《魏武帝集》，已佚失。今人輯有《曹操集》。
早年經曆
曹操出身官宦世家，《三國誌》稱其為西漢相國曹參之後，曹操的父親曹嵩是宦官曹騰的養子。曹騰曆侍四代皇帝，頗有名望，漢桓帝時，封為費亭侯，曹嵩繼承了曹騰的爵位，在漢靈帝時官至三公之首的太尉。[3]
年輕時期的曹操機智警敏，擅長隨機應變，而且任性好俠、放蕩不羈，不修品行，不研究學業，所以當時的人不認為他有什麼特彆的才能，隻有梁國人橋玄和南陽人何顒認為他不平凡，橋玄對曹操說：“如今天下將要發生動亂，非命世之才不能解救，能夠安定天下的，豈不是你嗎？”[4]汝南人許劭以知人著稱，他也曾評價曹操為“太平時的奸賊，亂世時的英雄”[5]（孫盛《異同雜語》記載為：治世之能臣，亂世之奸雄）。[
曹操早年就表現出對武藝的愛好與才能，博覽群書，尤其喜歡兵法，曾抄錄古代諸家兵法韜略，還注釋過《孫子兵法》。[274]這些為他後來的軍事生涯打下了穩健的基礎。
嶄露頭角
熹平三年（174年），曹操被舉為孝廉，入京都洛陽（時稱雒陽）為郎。不久，被任命為洛陽北部尉。洛陽為東漢都城，是皇親貴戚聚居之地，很難治理。曹操一到職，就申明禁令、嚴肅法紀，造五色大棒十餘根，懸於衙門左右，“有犯禁者，皆棒殺之”。漢靈帝寵幸的宦官蹇碩的叔父違禁夜行，曹操毫不留情，將蹇碩的叔父用五色棒處死。於是，“京師斂跡，無敢犯者”。曹操也因此得罪了一些當朝權貴，他們難以中傷曹操，隻得以舉薦為名，將其明升暗降，外調為頓丘（今河南清豐）縣令。
光和元年（178年），曹操因堂妹夫濦強侯宋奇被宦官誅殺，受到牽連，被免去官職。其後，在洛陽無事可做，回到家鄉譙縣閒居。[173]
光和三年（180年），曹操又被朝廷征召，任命為議郎。[171]此前，大將軍竇武、太傅陳蕃謀劃誅殺宦官，不料其事未濟反為宦官所害。曹操上書陳述竇武等人為官正直而遭陷害，致使奸邪之徒滿朝，而忠良之人卻得不到重用的情形，言辭懇切，但沒有被漢靈帝采納。
光和五年（182年），朝廷令公卿按民謠檢舉刺史、二千石為害之人。當時太尉許戫、司空張濟看著宦官的臉色行事，收取賄賂。宦官子弟賓客，貪汙卑鄙，許戫與張濟不敢過問，卻虛報糾舉二十六個處於邊遠小郡清廉惠政的人。官吏和百姓到京師申訴，陳耽和曹操上書：“公卿的檢舉，大都包庇各自的私黨，是所謂‘放鴟梟而囚鸞鳳’。”其言忠切，漢靈帝因此責備許戫和張濟，並將因謠言而被問罪的官員全部拜為議郎。[301]而後，東漢朝政日益腐敗，曹操知道無法匡正，便不再進言。
中平元年（184年），黃巾起義爆發，曹操被拜為騎都尉，受命與左中郎將皇甫嵩等人合軍進攻潁川的黃巾軍。右中郎將朱儁先到，與黃巾軍波才部作戰，失敗，皇甫嵩退守長社（今河南省長葛縣東北），麵對波才的圍困，趁夜縱火出擊，使黃巾軍驚亂後撤。此時曹操率軍趕來，聯合皇甫嵩、朱儁大破黃巾軍，斬首數萬級[174]。不久後，曹操調任濟南國（今山東濟南）國相。在濟南相任內，曹操治事如初。濟南國有縣十餘個，各縣長吏多依附貴勢，貪贓枉法，無所顧忌。曹操之前曆任國相皆置之不問。曹操到職，大力整飭，一下奏免十分之八的長吏，濟南震動，貪官汙吏紛紛逃竄。“政教大行，一郡清平”。
當時正是東漢政治極度黑暗之時。朝廷徵還曹操為東郡太守，拜為議郎，曹操不肯迎合權貴，遂托病回歸鄉裡，春夏讀書，秋冬弋獵，暫時隱居了。[